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Définition Deux variables aléatoires réelles et sont indépendantes si l'une des deux conditions suivantes est remplie:

Les définitions précédentes traitent de familles finies de variables aléatoires, numérotées de 1 à n par commodité, sans que cela restreigne la généralité des énoncés: en effet, on peut toujours numéroter de 1 à n les éléments d'une famille finie de variables aléatoires. De plus, les définitions font jouer des rôles symétriques à chaque élément de la famille, si bien que le choix d'une numérotation ou d'une autre est sans effet sur la vérification de la définition.

L'indépendance d'une famille quelconque (éventuellement infinie) de variables aléatoires est la suivante:

Définition Une famille de variables aléatoires définies sur est une famille de variables aléatoires si et seulement si de est une famille de variables aléatoires indépendantes (c'est-à-dire, si et seulement si, pour toute partie finie de , est une famille de variables aléatoires indépendantes).

Soit une suite X = ( X 1 , X 2 , , X n ) {\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})} de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de probabilité ( Ω , A , P ) . {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} ).}

Théorème

Démonstration dans le cas de deux variables

Comme la densité est sous forme produit, on a

et par suite

Par construction les fonctions sont d'intégrale 1, donc

Ainsi les fonctions sont les densités de probabilités marginales des deux composantes de Par suite, pour tout couple de fonctions et tel que le premier terme ci-dessous ait un sens, on a

ce qui entraine l'indépendance des variables et

Il suffit de montrer que

est la loi de et où est la mesure ayant pour densité Or

est la classe des pavés boréliens:

En effet

On remarque alors que est un Scb8 Bottines I18h25ricamo Bootie Femme noir Scb8 soldes T080i07VF6
et que la tribu engendrée par est donc, en vertu du Nike Mercurial Vapor 12 FG Pro Chaussures de Football Homme Blanc White/ChromeTotal O 107 455 EU Blanc (White/Chrome-Total O 107) 45.5 EU Chaussures de Football Homme bZxRsfM
,

Dans le cas des variables discrètes, un critère d'indépendance utile est le suivant:

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Elle est fortement dépendante de données socio-culturelles et psychologiques: D'un pays à l'autre, les différences de structure des dépenses de consommation le démontrent.

Il est cependant une loi ancienne énoncée par le statisticien 41 EU Think Dumia Sandales Bout Ouvert Femme Multicolore Bianco/Kombi 97 41 EU Think Dumia Sandales Bout Ouvert Femme Multicolore (Bianco/Kombi 97) qULo7x5
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que: « le coefficient budgétaire mesurant la part de l'alimentation dans le budget décroit lorsque les revenus augmentent ».

Pour consommer, les agents économiques, notamment les ménages, doivent disposer d'un revenu .

L'addition des Revenus primaires et des Revenus de transfert donne le Revenu disponible : c'est l'ensemble des ressources à disposition des ménages afin de consommer ou épargner.

Les comportements de consommation des ménages sont déterminés en premier lieu par la décision de partage entre la consommation présente et consommation future (l'épargne). Keynes suppose que la consommation a une importance première dans l'affectation du revenu: elle est fonction du revenu disponible, soit: C = c ( Y d ) + C o {\displaystyle C=c(Yd)+Co}

Il s'agit d'une équation de comportement qui définit la consommation des ménages (C). c est la propension marginale à consommer, il s'agit de la proportion dans laquelle varie la consommation lorsque le revenu varie d'une unité. Yd représente le revenu disponible, c'est-à-dire le revenu net d'impôts. Co désigne la consommation incompressible des ménages, c'est-à-dire ce qu'ils consomment même lorsque leur revenu est nul (pour répondre aux besoins physiologiques...).

Keynes note que, lorsque le revenu augmente, les possibilités d'épargne s'accroissent. En raison de la saturation relative des besoins, la propension à consommer (définie par le rapport entre consommation et revenu, C/R), a tendance à baisser et, symétriquement la propension à épargner a tendance à augmenter.

Cette approche est remise en cause par les travaux de Milton Friedman publiés en 1957 dans Théorie de la fonction de consommation .

Alors que le keynésianisme dominait, Friedman en souligne les imperfections et formule pour la remplacer l' hypothèse de revenu permanent .

Celle-ci postule que les choix de consommation sont guidés non par les revenus actuels mais par les anticipations que les consommateurs ont de leurs revenus. Anticipations d'autant plus stables, qu'elles ont tendance à lisser la consommation, même en cas de variation du revenu disponible (à la hausse ou à la baisse). Ces travaux furent particulièrement remarqués car ils invalidaient les politiques conjoncturelles de relance de la demande et le Hoka Challenger ATR 4 Uomo A565 US gXGwI
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